Американские исследователи продемонстрировали максимально приближенное к оптимальному решение задачи об упаковке многогранников.
Группа исследователей из Принстонского университета (США) продемонстрировала максимально приближенное к оптимальному решение задачи об упаковке многогранников.
Американские исследователи продемонстрировали максимально приближенное к оптимальному решение задачи об упаковке многогранников.
Группа исследователей из Принстонского университета (США) продемонстрировала максимально приближенное к оптимальному решение задачи об упаковке многогранников.
Задачи об упаковке связаны с определением такого способа расположения одинаковых тел, при котором они занимают наибольший объем заданного (обычно — трехмерного евклидова) пространства; наиболее известной считается задача об упаковке шаров. Знаменитая гипотеза Кеплера, утверждающая, что среди всех вариантов расположения шаров нет ни одного такого, у которого коэффициент заполнения пространства был бы больше, чем у гранецентрированной кубической упаковки, была высказана еще в 1611 году; ее доказательство — чрезвычайно сложное — было представлено в 1998 году американским математиком Томасом Хейлсом и в настоящее время проверяется.
Авторы рассматриваемой работы взялись за менее изученную задачу об упаковке многогранников и сумели превзойти результаты, показанные в прошлом году аспиранткой Мичиганского университета Элизабет Чэнь (Elizabeth Chen). Г-жа Чэнь продемонстрировала такой вариант расположения одинаковых тетраэдров, который позволяет им занимать 77,8% предоставленного объема; ученые из Принстонского университета смогли повысить этот показатель до 78,2%. Исследователи также нашли наиболее плотные типы упаковки для октаэдров, додекаэдров и икосаэдров, заполнив ими 94,7, 90,4 и 83,6 процента объема, соответственно (речь идет о трехмерном евклидовом пространстве).
Проведенное авторами компьютерное моделирование позволило установить, что для всех указанных выше тел Платона (правильных многогранников), кроме тетраэдра, наилучшим расположением должна стать плотная решетчатая упаковка на основе решеток Браве. От остальных фигур, объясняют ученые, тетраэдр отличает отсутствие центральной симметрии — отсюда и различия в свойствах. Рассмотрев семейство более сложных тел Архимеда (полуправильных многогранников), исследователи выяснили, что и для них действует «правило наиболее плотной решетчатой упаковки»; авторы, таким образом, сформулировали аналог гипотезы Кеплера для многогранников.
Такие результаты были получены с помощью разработанного учеными алгоритма, который осуществлял поиск решения задачи нетрадиционным методом. В предыдущих работах моделировалась «коробка» заданных размеров, которая затем наполнялась многогранниками; авторы, напротив, создали объемную структуру и медленно уменьшали ее размеры, следя за тем, как она изменяет форму, а содержащиеся в ней многогранники перестраиваются.
Тела Платона (P) и Архимеда (А): тетраэдр (Р1); икосаэдр (Р2); додекаэдр (Р3); октаэдр (Р4); куб (Р5); усеченный тетраэдр (А1); усеченный икосаэдр (А2); плосконосый куб (А3); плосконосый додекаэдр (А4); ромбоикосододекаэдр (А5); усеченный икосододекаэдр (А6); усеченный кубооктаэдр (А7); икосододекаэдр (А8); ромбокубоктаэдр (А9); усеченный додекаэдр (А10); кубооктаэдр (А11); усеченный куб (А12) и усеченный октаэдр (А13).
Полная версия отчета ученых опубликована в журнале Nature.
Подготовлено по материалам Принстонского университета.
Источник: compulenta.ru